题目内容
【题目】据俄罗斯新罗西斯克2015年5月17日电 记者吴敏、郑文达报道：当地时间17日，参加中俄“海上联合－2015(Ⅰ)”军事演习的9艘舰艇抵达地中海预定海域，混编组成海上联合集群．接到命令后我军在港口M要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的俄军轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口M北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）为保证小艇在30分钟内(含30分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值并说明你的推理过程；
（3）是否存在v，使得小艇以v海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定v的取值范围；若不存在，请说明理由．
【答案】：(1) 
;(2) 
;(3)
【解析】试题分析：（1）先假设相遇时小艇的航行距离为
，根据余弦定理可得到关系式
，整理后运用二次函数的性质可确定答案；（2）先假设小艇与轮船在某处相遇，根据余弦定理可得到
，再由
的范围求得
的最小值；（3）根据（2）中与的关系式，设
，然后代入关系式整理成
，将问题等价于有两个不等正根的问题，进而得解.
试题解析：(1) 设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
，
当t＝
，Smin＝10
，v＝30，
即小艇以30的速度航行时，相遇时小艇航行距离最小．
(2) 设小艇与轮船在B处相遇．
由题意得(vt)2＝202＋(30t)2－1 200t·cos60°，
v2＝400
2＋675.
∵ 0<t≤
， ∴
＝2时，v取得最小值10
.
(3) 由(2)知v2＝
－
＋900，设＝μ(μ>0)，
∴ 400μ2－600μ＋900v2＝0.
小艇总能有两种不同的航行方向与轮船相遇，等价于上述方程应有两个不等正根，
解得15<v<30.
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