Question

4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）²-c²=4，且cosC=$\frac{1}{3}$，则△ABC周长的最小值为（　　）

• A． $\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{6}$+$\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{5}$+$\sqrt{3}$
• D． 2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 由余弦定理得a²+b²-c²=$\frac{2ab}{3}$，又（a+b）²-c²=4，得a²+b²-c²=4-2ab，解得ab=$\frac{3}{2}$，利用基本不等式及余弦定理即可求得△ABC周长的最小值．

解答 解：由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{1}{3}$，
即a²+b²-c²=$\frac{2ab}{3}$，
又（a+b）²-c²=4，即a²+b²+2ab-c²=4，
∴a²+b²-c²=4-2ab，
∴8ab=12，即ab=$\frac{3}{2}$，
∴a+b≥2$\sqrt{ab}$=$\sqrt{6}$，当且仅当a=b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$时取等号，
则a+b的最小值为$\sqrt{6}$．此时可得：c²=a²+b²-2abcosC=$\frac{6}{4}+\frac{6}{4}-2×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{1}{3}$=2，解得：c=$\sqrt{2}$，
∴△ABC周长的最小值为$\sqrt{6}+\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题主要考查了余弦定理，基本不等式的应用，利用基本不等式求a+b的最小值是解题的关键，属于中档题．