题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,以椭圆的短轴为直径的圆与直线
相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设椭圆过右焦点的弦为
、过原点的弦为
,若
,求证:
为定值.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)由题意结合点到直线距离公式可得.结合离心率计算公式有
.则椭圆
的方程为
.
(Ⅱ)对直线的斜率分类讨论:当直线的斜率不存在时,
.当直线
的斜率存在时,设
,
,
,
,联立直线方程与椭圆方程有
,由弦长公式可得
.联立直线
与椭圆方程,结合弦长公式有
.计算可得
.据此可得:
为定值.
试题解析:
(Ⅰ)依题意,原点到直线的距离为
,
则有.
由,得
.
∴椭圆的方程为
.
(Ⅱ)证明:(1)当直线的斜率不存在时,易求
,
,
则.
(2)当直线的斜率存在时,
设直线的斜率为
,依题意
,
则直线的方程为
,直线
的方程为
.
设,
,
,
,
由得
,
则,
,
.
由整理得
,则
.
.
∴.
综合(1)(2),为定值.
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