题目内容
【题目】德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数
被称为狄利克雷函数，其中
为实数集，
为有理数集，则关于函数
有如下四个命题：①
；②函数是偶函数；③任取一个不为零的有理数
，
对任意的
恒成立；④存在三个点
，
，
，使得
为等边三角形.其中真命题的个数有（ ）
A.1个B.2个C.3个D.4个
【答案】D
【解析】
根据所给的定义，运用分类讨论的方法、取特殊值法进行逐一判断即可.
①∵当
为有理数时，
；当为无理数时，
，
∴当为有理数时，
；
当为无理数时，
，
即不管是有理数还是无理数，均有
，故①正确；
②∵有理数的相反数还是有理数，无理数的相反数还是无理数，
∴对任意
，都有
，故②正确；
③若是有理数，则
也是有理数； 若是无理数，则也是无理数，
∴根据函数的表达式，任取一个不为零的有理数
，
对恒成立，故③正确；
④取
，
，
，可得
，
，
，
∴
，
，
，恰好
为等边三角形，故④正确.
故选：D.
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