题目内容
【题目】已知直线,点
,点
是平面直角坐标系内的动点,且点
到直线
的距离是点
到点
的距离的2倍.记动点
的轨迹为曲线
.
(1)求曲线的方程;
(2)过点的直线
与曲线
交于
、
两点,若
(
是坐标系原点)的面积为
,求直线
的方程;
(3)若(2)中过点的直线
是倾斜角不为0的任意直线,仍记
与曲线
的交点为
、
,设点
为线段
的中点,直线
与直线
交于点
,求
的大小.
【答案】(1);(2)直线
或
;(3)
.
【解析】
(1)由题意可得,化简可得曲线
的方程.
(2)讨论直线的斜率不存在和存在两种情况.当直线
的斜率不存在时,求出
的面积,易判断是否成立. 当直线
的斜率存在时,设直线
,由方程组
消元,韦达定理可求弦长
,又点
到直线
的距离
,所以
的面积
,可求
值,即可求直线
的方程.
(3)讨论直线的斜率不存在和存在两种情况. 当直线
的斜率不存在时,易求
的值. 当直线
的斜率存在时,设直线
.由(2)中的结论可得点
的坐标,可写出直线
的方程,求出点
的坐标.最后用向量的方法求
的值.
(1)根据题意,可知,,
化简得.
.
(2)因为直线过焦点
,故直线与椭圆总交于
、
两点.
若直线与
轴垂直,可算得
,
,不满足条件.
于是,所求直线的斜率存在.
设直线的斜率为
,即
.
联立方程组,得
(此时
恒成立).
,
点到
的距离为
.
,
化简得,即
解得.
所求直线
或
(或表示为一般式方程).
(3)若直线的斜率不存在,即垂直
轴,
根据椭圆的对称性,知点与点
重合,点
,此时,有
.
若直线的斜率存在,设
.
由(2)可得,
.
直线
的倾斜角不为零,
.
直线
.
.
方法1:算得.又直线
方向向量为
,
且.
.
.(多想少算)
综上,不论直线的斜率存在与否,总有
.
方法2:算得,
与
的交点为
,
.
可得向量与
的夹角满足
,
即,
,
.
综上,不论直线的斜率存在与否,总有
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某商场营销人员进行某商品的市场营销调查时发现,每回馈消费者一定的点数,该商品每天的销量就会发生一定的变化,经过试点统计得到以下表:
反馈点数t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
销量(百件)/天 | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(Ⅰ)经分析发现,可用线性回归模型拟合当地该商品销量
(千件)与返还点数
之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量;
(Ⅱ)若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大,经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:
返还点数预期值区间 (百分比) | [1,3) | [3,5) | [5,7) | [7,9) | [9,11) | [11,13) |
频数 | 20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
将对返点点数的心理预期值在和
的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者,现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名,再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查,求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率.