Question

9．已知实数x，y满足方程x²+y²-4x+1=0，求：
（1）$\frac{y}{x}$的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值；
（4）2x²+y²-4x-6的最大值．

Answer 1

分析 （1）整理方程可知，方程表示以点（2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆，设$\frac{y}{x}$=k，进而根据圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值；
（2）设m=y-x，当点（x，y）在圆（x-2）²+y²=1上，则此直线与圆相切时，m取最值，根据圆心到直线的距离等于半径，求得m的值，即为所求．
（3）根据x²+y²表示点P（x，y）与点O（0，0）间的距离的平方，求出|CO|，再把|CO|加减半径后平方，即得所求．
（4）利用圆的参数方程，即可求出2x²+y²-4x-6的最大值．

解答 解：（1）方程x²+y²-4x+1=0表示以点（2，0）为圆心，以$\sqrt{3}$为半径的圆．
设$\frac{y}{x}$=k，即y=kx，由圆心（2，0）到y=kx的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值，
由$\frac{|2k-0|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，解得k²=3．
∴k_max=$\sqrt{3}$，k_min=-$\sqrt{3}$，
则$\frac{y}{x}$的最大值为$\sqrt{3}$，最小值为-$\sqrt{3}$；
（2）设y-x=m，则x-y+m=0，圆心（2，0）到x-y+m=0的距离d=$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}$，∴m=-2±$\sqrt{6}$，
∴y-x的最小值为-2-$\sqrt{6}$；
（3）∵x²+y²表示点P（x，y）与点O（0，0）间的距离的平方．
∵CO=2，∴x²+y²的最小值为（2-$\sqrt{3}$）²=7-4$\sqrt{3}$，最大值为（2+$\sqrt{3}$）²=7+4$\sqrt{3}$；
（4）设x=2+$\sqrt{3}cosα$，y=$\sqrt{3}$sinα，则2x²+y²-4x-6=2（2+$\sqrt{3}cosα$）²+（$\sqrt{3}$sinα）²-4（2+$\sqrt{3}cosα$）-6
=3cos²α+4$\sqrt{3}$cosα-3=3（cosα+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）²-7，∴cosα=1时，2x²+y²-4x-6的最大值为4$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了直线与圆的位置关系，以及最值的计算，弄清题意是解本题的关键．