Question

(12分)如图7-4，已知△ABC中， ∠ACB=90°，CD⊥AB，且AD=1，BD=2，△ACD绕CD旋转至A′CD，使点A′与点B之间的距离A′B=。

（1）求证：BA′⊥平面A′CD；
（2）求二面角A′－CD－B的大小；
（3）求异面直线A′C与BD所成的角的余弦值。

Answer 1

解 （1）∵CD⊥AB，
∴CD⊥A′D，CD⊥DB，
∴CD⊥平面A′BD，
∴CD⊥BA′。
又在△A′DB中，A′D=1，DB=2，A′B=，
∴∠BA′D=90°，即BA′⊥A′D，
∴BA′⊥平面A′CD。
（2）∵CD⊥DB，CD⊥A′D，
∴∠BDA′是二面角A′—CD—B的平面角。
又Rt△A′BD中，A′D=1，BD=2，
∴∠A′DB=60°，
即  二面角A′—CD—B为60°。
（3）过A′作A′E∥BD，在平面A′BD中作DE⊥A′E于E，连CE，则∠CA′E为A′C与BD所成角。
∵CD⊥平面A′BD，DE⊥A′E，∴A′E⊥CE。
∵EA′∥AB，∠A′DB=60°，∴∠DA′E=60°，
又A′D=1，∠DEA′=90°，
∴A′E=
又∵在Rt△ACB中，AC==
∴A′C=AC=
∴Rt△CEA′中，cos∠CA′E===,
即异面直线A′C与BD所成角的余弦值为。

略