Question

【题目】定义在[﹣4，4]上的奇函数f（x），已知当x∈[﹣4，0]时，f（x）= + （a∈R）．
（1）求f（x）在[0，4]上的解析式；
（2）若x∈[﹣2，﹣1]时，不等式f（x）≤ ﹣ 恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）是定义在[﹣4，4]上的奇函数，

∴f（0）=1+a=0，

∴a=﹣1，

∵ ，

设x∈[0，4]，

∴﹣x∈[﹣4，0]，

∴ ，

∴x∈[0，4]时，f（x）=3x﹣4x

（2）解：∵x∈[﹣2，﹣1]， ，

即

即 x∈[﹣2，﹣1]时恒成立，

∵2x＞0，

∴ ，

∵ 在R上单调递减，

∴x∈[﹣2，﹣1]时， 的最大值为 ，

∴

【解析】（1）根据奇函数的性质即可求出a，设x∈[0，4]，﹣x∈[﹣4，0]，易求f（﹣x），根据奇函数性质可得f（x）与f（﹣x）的关系；（2）分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义和函数奇偶性的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．