题目内容
16.设正实数a,b,c及非负实数x,y满足条件a6+b6+c6=3,(x+1)2+y2≤2,求:I=$\frac{1}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}}$$\frac{1}{2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$的最小值,并论证之.分析 利用柯西不等式,可得a3+b3+c3≤3,结合(x+1)2+y2≤2,2x+y2≤1-x2≤1,即可得出I=$\frac{1}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}}$$\frac{1}{2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$的最小值.
解答 解:由柯西不等式可得[(2a3x+b3y2)+(2b3x+c3y2)+(2c3x+a3y2)]I≥(1+1+1)2,
∴I≥$\frac{9}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}+2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}+2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$=$\frac{9}{({a}^{3}+{b}^{3}+{c}^{3})(2x+{y}^{2})}$,
∵(a3+b3+c3)2≤(a6+b6+c6)(1+1+1)=9,
∴a3+b3+c3≤3,
∵(x+1)2+y2≤2
∴2x+y2≤1-x2≤1,
∴I≥$\frac{9}{3×1}$=3,此时a=b=c=1,x=0,y=1,
∴I=$\frac{1}{2{a}^{3}x+{b}^{3}{y}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{3}x+{c}^{3}{y}^{2}}$$\frac{1}{2{c}^{3}x+{a}^{3}{y}^{2}}$的最小值为3.
点评 本题考查柯西不等式的运用,考查学生分析解决问题的能力,正确运用柯西不等式是关键.
练习册系列答案
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |