Question

8．已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且f（x+1）=f（x）+x+1
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x²-2）的值域．

Answer 1

分析 （1）设出二次函数的解析式由f（0）=0可求c=0，再由f（x+1）=f（x）+x+1构造方程组可求a、b的值，利用待定系数法进行求解即可．
（2）利用换元法设t=x²-2，结合一元二次函数的性质进行求解即可．

解答 解：设二次函数f（x）=ax²+bx+c
∵f（0）=a×0+b×0+c=0，∴c=0
∴f（x）=ax²+bx，
又∵f（x+1）=f（x）+x+1，
∴a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1
∴ax²+2ax+a+bx+b=ax²+bx+x+1
∴2ax+（a+b）=x+1
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a=1}\\{a+b=1}\end{array}$，解得a=$\frac{1}{2}，b=\frac{1}{2}$
∴f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$x．
（2）f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}+\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$（x+$\frac{1}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，对称轴为x=-$\frac{1}{2}$，
y=f（x²-2）=$\frac{1}{2}$（x²-2）²+$\frac{1}{2}$（x²-2）=$\frac{1}{2}$x⁴-$\frac{3}{2}$x²+1=$\frac{1}{2}$（x²-$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$
∴当x²=$\frac{3}{2}$时，函数y取得最小值-$\frac{1}{8}$，
故函数的值域为[-$\frac{1}{8}$，+∞）．

点评 本题主要考查函数解析式的求解，利用待定系数法，结合一元二次函数的性质是解决本题的关键．