Question

4．已知数列{b_n}的前n项和为S_n，满足2S_n=3（b_n-1）（n∈N^*）
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{（2n-1）b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）通过2S_n=3（b_n-1）与2S_n+1=3（b_n+1-1）作差、整理得b_n+1=3b_n，进而可知数列{b_n}是首项、公比均为3的等比数列，计算即得结论；
（2）通过（1）可知（2n-1）b_n=（2n-1）•3ⁿ，从而T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ、3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵2S_n=3（b_n-1），
∴2S_n+1=3（b_n+1-1），
两式相减得：2b_n+1=3b_n+1-3b_n，
整理得：b_n+1=3b_n，
又∵2b₁=3（b₁-1），即b₁=3，
∴数列{b_n}是首项、公比均为3的等比数列，
∴b_n=3ⁿ；
（2）由（1）可知（2n-1）b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴T_n=1•3+3•3²+5•3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=1•3²+3•3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2[3²+3³+…+3ⁿ]-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+2•$\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}$-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=3+3ⁿ⁺¹-9-（2n-1）•3ⁿ⁺¹
=-6+2（1-n）•3ⁿ⁺¹，
∴T_n=3+（n-1）•3ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．