题目内容
已知函数
(1)若函数在点处的切线方程为,求的值;
(2)若,函数在区间内有唯一零点,求的取值范围;
(3)若对任意的,均有,求的取值范围.
(1)若函数在点处的切线方程为,求的值;
(2)若,函数在区间内有唯一零点,求的取值范围;
(3)若对任意的,均有,求的取值范围.
(1),;(2)或;(3).
试题分析:本题考查导数的运算,利用导数求切线方程、判断函数的单调性、求函数的最值等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想,考查综合分析和解决问题的能力.第一问,利用导数求切线方程,先求导,将切点的横坐标代入到导数中,得到切线的斜率,再求即切点的纵坐标,直接利用点斜式写出切线方程;第二问,先将代入得到解析式,求导数,判断函数的单调性,因为在有唯一的零点,所以或,所以解得或;第三问,属于恒成立问题,通过分析题意,可以转化为在上的最大值与最小值之差,因为,所以讨论的正负来判断的正负,当时,为单调函数,所以,当时,需列表判断函数的单调性和极值来决定最值的位置,这种情况中还需要讨论与1的大小.
试题解析:(1) ,所以,得. 2分
又,所以,得. 3分
(2) 因为所以, . 4分
当时,,当时,
所以在上单调递减,在上单调递增 5分
又,可知在区间内有唯一零点等价于
或, . 7分
得或. 8分
(3)若对任意的,均有,等价于
在上的最大值与最小值之差 10分
(ⅰ) 当时,在上,在上单调递增,
由,得,
所以 9分
(ⅱ)当时,由得
由得或
所以,同理 . 10分
当,即时,,与题设矛盾; 11分
当,即时,恒成立; 12分
当,即时,恒成立; 13分
综上所述,的取值范围为. 14分
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