题目内容
【题目】如图，在直角坐标
中，设椭圆
：
的左右两个焦点分别为
，
，过右焦点且与
轴垂直的直线
与椭圆相交，其中一个交点为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知
，
经过点
且斜率为
，直线与椭圆有两个不同的
和
交点，请问是否存在常数，使得向量
与
共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）椭圆C的方程为
；（2）不存在常数
，使得向量
与
共线，理由见解析。
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合椭圆的定义有：
，在
中应用勾股定理可得
，结合
可得
，则椭圆的方程为.
(2)当直线的斜率不存在时，不满足题意；
当直线斜率存在时：设直线
的方程为
，与椭圆方程联立可得
，由判别式大于零可得
．设
,由韦达定理可得
，
，而
，则原问题等价于
．联立方程可得
．而
，故不存在常数，使得向量与共线．
试题解析：
(1)由椭圆定义可知
.
由题意
,
.
又由
△
可知
，
,
，
又
，得
.
椭圆
的方程为
.
（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意；
直线斜率存在时，设直线的方程为，
代入椭圆方程，得
．
整理，得①
因为直线与椭圆
有两个不同的交点
和
等价于
，
解得．
设,则＝
,
由①得②
又③
因为
，所以．
所以与共线等价于．
将②③代入上式，解得．
因为
所以不存在常数，使得向量与共线．
【题目】受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关，某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆，统计数据如下：
品牌 | 甲 | 乙 | |||
首次出现故障时间x（年） | 0＜x＜1 | 1＜x≤2 | x＞2 | 0＜x≤2 | x＞2 |
轿车数量（辆） | 2 | 3 | 45 | 5 | 45 |
每辆利润（万元） | 1 | 2 | 3 | 1.8 | 2.9 |
将频率视为概率，解答下列问题：
（Ⅰ）从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求首次出现故障发生在保修期内的概率；
（Ⅱ）若该厂生产的轿车均能售出，记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 ， 生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 ， 分别求X1 ， X2的分布列；
（Ⅲ）该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌轿车，若从经济效益的角度考虑，你认为应该产生哪种品牌的轿车？说明理由．
