题目内容
【题目】设数列{an}的前n项和为Sn , 满足2Sn=an+1﹣2n+1+1,n∈N* , 且a1 , a2+5,a3成等差数列.
(1)求a1的值;
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)证明:对一切正整数n,有 .
【答案】
(1)解:在2Sn=an+1﹣2n+1+1中,
令n=1得:2S1=a2﹣22+1,
令n=2得:2S2=a3﹣23+1,
解得:a2=2a1+3,a3=6a1+13
又2(a2+5)=a1+a3
解得a1=1
(2)解:由2Sn=an+1﹣2n+1+1,
得an+2=3an+1+2n+1,
又a1=1,a2=5也满足a2=3a1+21,
所以an+1=3an+2n对n∈N*成立
∴an+1+2n+1=3(an+2n),又a1=1,a1+21=3,
∴an+2n=3n,
∴an=3n﹣2n
(3)解:(法一)
∵an=3n﹣2n=(3﹣2)(3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1)≥3n﹣1
∴ ≤
,
∴ +
+
+…+
≤1+
+
+…+
=
<
【解析】(1)在2Sn=an+1﹣2n+1+1中,令分别令n=1,2,可求得a2=2a1+3,a3=6a1+13,又a1 , a2+5,a3成等差数列,从而可求得a1;(2)由2Sn=an+1﹣2n+1+1, 得an+2=3an+1+2n+1①,an+1=3an+2n②,由①②可知{an+2n}为首项是3,3为公比的等比数列,从而可求an;(3)由an=3n﹣2n=(3﹣2)(3n﹣1+3n﹣2×2+3n﹣3×22+…+2n﹣1)≥3n﹣1可得
≤
,累加后利用等比数列的求和公式可证得结论;
【考点精析】通过灵活运用等差数列的性质和数列的通项公式,掌握在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列;如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式就叫这个数列的通项公式即可以解答此题.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.
(1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式.
(2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:
日需求量n | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
频数 | 10 | 20 | 16 | 16 | 15 | 13 | 10 |
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列,数学期望及方差;
(ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.