Question

【题目】已知A，B为椭圆上的两个动点，满足．

（1）求证：原点O到直线AB的距离为定值；

（2）求的最大值；

（3）求过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．

【解析】

（1）当直线AB的斜率不存在时，将代入椭圆方程可得，即可得原点O到直线AB的距离为；当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，，与椭圆方程联立，可得，又，则，利用韦达定理代入化简可得，则原点O到直线AB的距离，故原点O到直线AB的距离为定值；

（2）由（1）可得，又且，即可得的最大值；

（3）如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，，可得P，A，B三点共线. 由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值，即可得点的轨迹方程.

（1）证明：当直线AB的斜率不存在时，由代入椭圆方程可得：，解得，此时原点O到直线AB的距离为．

当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，．

联立，化为，

，则，，

．

，

化为，

化为，

化为，

原点O到直线AB的距离．

综上可得：原点O到直线AB的距离为定值．

（2）解：由（1）可得，

，

，

又，

当且仅当时取等号．

的最大值为．

（3）解：如图所示，过点O，且分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹满足：，．

因此P，A，B三点共线．

由（1）可知：原点O到直线AB的距离为定值．

分别以OA，OB为直径的两圆的另一个交点P的轨迹方程为．