Question

16．若双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=2相切，则此双曲线的离心率等于（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，利用渐近线与圆相切，得到ab关系，然后求解双曲线的离心率．

解答 解：由题意可知双曲线的渐近线方程之一为：bx+ay=0，
圆（x-2）²+y²=2的圆心（2，0），半径为$\sqrt{2}$，
双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=2相切，
可得：$\frac{\left|2a\right|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}=\sqrt{2}$，
可得a²=b²，c=$\sqrt{2}$a，
e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线与圆的位置关系的应用，考查计算能力．