题目内容

6.如图所示的几何体是由一个正三棱锥P-ABC与正三棱柱ABC-A1B1C1组合而成,现用4种不同颜色对这个几何体的表面染色(底面A1B1C1不涂色),要求相邻的面均不同色,则不同的染色方案共有72种.

分析 假设先给△APB染色,可有4种方法,则△PBC、△PAC、矩形ABB1A1可有${A}_{3}^{3}$种不同染色方法;分类讨论:若矩形BCC1B1与△APB染色相同,则矩形ACC1A1只有1种染色方法;若矩形BCC1B1与△APB染色不相同,只有1种染色方法,则矩形ACC1A1可有2种染色方法.即可得出.

解答 解:假设先给△APB染色,可有4种方法,则△PBC、△PAC、矩形ABB1A1可有${A}_{3}^{3}$种不同染色方法;
若矩形BCC1B1与△APB染色相同,则矩形ACC1A1只有1种染色方法;
若矩形BCC1B1与△APB染色不相同,只有1种染色方法,则矩形ACC1A1可有2种染色方法.
综上可得不同的染色方案共有$4×{A}_{3}^{3}$×(1×1+1×2)=72种.
故答案为:72.

点评 本题考查了排列与组合数的应用、分类讨论思想方法,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

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