Question

7．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1＜x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，设方程f（x）=x+1的根按从小到大的顺序得到数列x₁，x₂，…，x_n，那么x₁₀等于（　　）

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 11

Answer 1

分析 根据函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1＜x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，可得n-1＜x＜n时，f（x）=-（x-n）²+n+1，令f（x）=x+1，可得x=n-1，再通过数列及通项公式的概念得所求的解．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+1，-1＜x≤0}\\{f（x-1）+1，x＞0}\end{array}\right.$，
∴n-1＜x＜n时，f（x）=-（x-n）²+n+1，
令f（x）=x+1，可得x=n-1，
∴方程f（x）=x+1的根按从小到大的顺序得到数列的通项为a_n=n-1，
∴x₁₀=9．
故选：B．

点评 本题主要考查数列的概念及简单表示；培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；解题中使用了数形结合及分类讨论的数学方法和数学思想，属于中档题．