题目内容
如图,已知椭圆:的离心率为,以椭圆的左顶点为圆心作圆:,设圆与椭圆交于点与点.
(1)求椭圆的方程;
(2)求的最小值,并求此时圆的方程;
(3)设点是椭圆上异于,的任意一点,且直线分别与轴交于点,为坐标原点,
求证:为定值.
(1);(2),;(3)证明过程详见解析.
解析试题分析:(1)先通过离心率求出,再通过,然后写出椭圆方程;(2)先设出点的坐标,由于点在椭圆上,所以,找到向量坐标,根据点乘列出表达式,配方法找到表达式的最小值,得到点坐标,点在圆上,代入得到圆的半径,就可以得到圆的方程;(3)设出点的坐标,列出直线的方程,因为直线与轴有交点,所以令,得到,所以,又因为点在椭圆上,得到方程,代入中,得到,所以.
试题解析:(1)依题意,得,,∴;
故椭圆的方程为 . 3分
(2)方法一:点与点关于轴对称,设,, 不妨设.
由于点在椭圆上,所以. (*) 4分
由已知,则,,
所以
. 6分
由于,故当时,取得最小值为.
由(*)式,,故,又点在圆上,代入圆的方程得到.
故圆的方程为:. 8分
方法二:点与点关于轴对称,故设,
不妨设,由已知,则
. 6分
故当时,取得最小值为,此时,
又点在圆上,代入圆的方程得到.
故圆的方程为:. 8分
(3) 方法一:设,则直线的方程为:
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