Question

函数f（x）=e^x-e²x+a，
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）=0有两个不同解，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（1）对f（x）求导，令f′（x）＞0，解不等式即可，
（2）由图象连续，且函数在R上先减后增，可知若函数图象与x轴两个交点，则最小值小于0即可．

解答： 解：（1）f′（x）=e^x-e²，
由f′（x）＞0得x＞2，由f′（x）＜0得x＜2，
∴f（x）的减区间是（-∞，2），增区间是（2，+∞），
（2）由（1）知f（x）的极小值是f（2）=a-e²，
函数在R上先减后增，图象连续，若f（x）=0有两个不同解，则f（2）＜0即可
即a-e²＜0，
解得a＜e²．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题，转化为函数最值是解决恒成立问题的常用方法，导数是解决函数问题的强有力的工具．