Question

在极坐标系内，已知曲线C₁的方程为ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程为

5x=1-4t 5y=18+3t

（t为参数）．设点P为曲线C₂上的动点，过点P作曲线C₁的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是

 

．

Answer 1

考点：参数方程化成普通方程,简单曲线的极坐标方程

专题：计算题,直线与圆,坐标系和参数方程

分析：运用代入法化简可得曲线C₂的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可化简曲线C₁的方程，求出圆心到直线的距离，设两条切线所成角为2α，考虑当P为圆心到直线的垂线的垂足时，两条切线所成角最大．求出sinα，再由二倍角的余弦公式，即可得到．

解答： 解：曲线C₁的直角坐标方程为：x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1，
圆心为（1，-2），半径为1．
曲线C₂的普通方程为：3x+4y-15=0，
圆心到直线的距离为：d=

|3-8-15|

9+16

=4．
设两条切线所成角为2α，
当P为圆心到直线的垂线的垂足时，两条切线所成角最大．
则sinα=

1

4

，
则这两条切线所成角余弦的最小值是cos2α=1-2sin²α
=1-2×（

1

4

）²=

7

8

．
故答案为：

7

8

．

点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查点到直线的距离公式和二倍角的余弦公式，属于中档题．