题目内容
【题目】已知椭圆W: ,过原点O作直线l1交椭圆W于A,B两点,P为椭圆上异于A,B的动点,连接PA,PB,设直线PA,PB的斜率分别为k1 , k2(k1 , k2≠0),过O作直线PA,PB的平行线l2 , l3 , 分别交椭圆W于C,D和E,F.
(1)若A,B分别为椭圆W的左、右顶点,是否存在点P,使∠APB=90°?说明理由.
(2)求k1k2的值;
(3)求|CD|2+|EF|2的值.
【答案】
(1)解:不存在点P,使∠APB=90°.
说明如下:设P(xP,yP).
依题意,此时A(﹣2,0),B(2,0),
则 ,
.
若∠APB=90°,则需使 ,即
.
又点P在椭圆W上,所以 ,
把 代入(1)式中解得,xP=±2,且yP=0.
显然与P为椭圆上异于A,B的点矛盾,所以不存在;
(2)解:设P(xP,yP),A(xA,yA),依题意直线l1过原点,则B(﹣xA,﹣yA).
由于P为椭圆上异于A,B的点,
则直线PA的斜率 ,直线PB的斜率
.
即 .
椭圆W的方程化为x2+4y2=4,由于点P和点A都为椭圆W上的点,
则 ,两式相减得
,
因为点P和点A不重合,所以 ,
即 ;
(3)解:
方法一:由于l2,l3分别平行于直线PA,PB,
则直线l2的斜率kCD=k1,直线l3的斜率kEF=k2.
设直线l2的方程为y=k1x,代入到椭圆方程中,
得 ,解得
.
设C(xC,yC),由直线l2过原点,则D(﹣xC,﹣yC).
则 =
.
由于yC=k1xC,所以|CD|2= ,即|CD|2=
.
直线l3的方程为y=k2x,代入到椭圆方程中,
得 ,解得
.
同理可得 .
则|CD|2+|EF|2= .
由(Ⅱ)问 ,且k1≠0,则
.
即|CD|2+|EF|2=16
化简得|CD|2+|EF|2=16 .
即|CD|2+|EF|2=20.
方法二:设C(xC,yC),E(xE,yE),
由直线l2,l3都过原点,则D(﹣xC,﹣yC),F(﹣xE,﹣yE).
由于l2,l3分别平行于直线PA,PB,
则直线l2的斜率kCD=k1,直线l3的斜率kEF=k2,
由(2)得 ,可得
.
由于kCD=k1≠0,则 .
由于点C不可能在x轴上,即yC≠0,所以 ,
过原点的直线l3的方程为 x,代入椭圆W的方程中,
得 ,化简得
.
由于点C(xC,yC)在椭圆W上,所以 ,
所以 ,不妨设xE=2yC,代入到直线
中,
得 .即
,则
.
|CD|2+|EF|2=
=
= .
又 ,所以|CD|2+|EF|2=20.
【解析】(1)不存在点P,使∠APB=90°.理由如下:设P(xP , yP),运用向量垂直的条件和数量积的坐标表示,结合椭圆方程,即可判断;(2)设P(xP , yP),A(xA , yA),运用直线的斜率公式和点差法,化简整理可得所求值;(3)方法一:由于l2 , l3分别平行于直线PA,PB,求得直线方程,联立椭圆方程,求得弦长,化简整理,即可得到所求值;
方法二、设C(xC , yC),E(xE , yE),由直线l2 , l3都过原点,则D(﹣xC , ﹣yC),F(﹣xE , ﹣yE).由于l2 , l3分别平行于直线PA,PB,由平行的条件,求得直线方程,代入椭圆方程,化简整理,即可得到所求值.
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