Question

【题目】选修4﹣4：坐标系与参数方程．
极坐标系与直角坐标系xoy有相同的长度单位，以原点为极点，以x轴正半轴为极轴，已知曲线C1的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线C2的参数方程为 （t为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+ ，θ=φ﹣ 与曲线C1交于（不包括极点O）三点A、B、C．
（1）求证：|OB|+|OC|= |OA|；
（2）当φ= 时，B，C两点在曲线C2上，求m与α的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+ ），|OC|=4cos（φ﹣ ），

则|OB|+|OC|=4cos（φ+ ）+4cos（φ﹣ ）=2 （cosφ﹣sinφ）+2 （cosφ+sinφ）=4 cosφ，

= |OA|．

（2）解：当φ= 时，B，C两点的极坐标分别为（2， ），（2 ，﹣ ）．

化为直角坐标为B（1， ），C（3，﹣ ）．

C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，

又经过点B，C的直线方程为y=﹣ （x﹣2），故直线的斜率为﹣ ，

所以m=2，α= ．

【解析】（1）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos（φ+ ），|OC|=4cos（φ﹣ ），利用三角恒等变换化简|OB|+|OC|为4 cosφ，= |OA|，命题得证．（2）当φ= 时，B，C两点的极坐标分别为（2， ），（2 ，﹣ ）．再把它们化为直角坐标，根据C2是经过点（m，0），倾斜角为α的直线，又经过点B，C的直线方程为y=﹣ （x﹣2），由此可得m及直线的斜率，从而求得α的值．
【考点精析】通过灵活运用圆的参数方程，掌握圆的参数方程可表示为即可以解答此题．