题目内容

某商场准备在五一劳动节期间举行促销活动,根据市场调查,该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品进行促销活动.
(Ⅰ)试求选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率;
(Ⅱ)商场对选出的A商品采用的促销方案是有奖销售,即在该商品现价的基础上将价格提高90元,同时允许顾客有3次抽奖的机会,若中奖,则每次中奖都可获得一定数额的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否是等可能的,请问:商场应将中奖奖金数额最高定为多少元,才能使促销方案对自己有利?
(Ⅰ)P=1-.
(Ⅱ)要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额,因此应有1.5x≤90,所以x≤60,故商场应将中奖奖金数额最高定为60元,才能使促销方案对自己有利.

试题分析:(Ⅰ)从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中,选出3种商品,一共可以有种不同的选法. 选出的3种商品中,没有日用商品的选法有种,所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为P=1-=1-.
(Ⅱ)假设商场将中奖奖金数额定为x元,则顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ,其所有可能的取值为,0,x,2x,3x.
ξ=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖,所以P(ξ=0)=()3=,
同理可得P(ξ=x)=()()2=,
P(ξ=2x)=()2()=,P(ξ=3x)=()3=.
于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望是
Eξ=0×+x·+2x·+3x·=1.5x.
要使促销方案对商场有利,应使顾客获奖奖金数的期望值不大于商场的提价数额,因此应有1.5x≤90,所以x≤60,故商场应将中奖奖金数额最高定为60元,才能使促销方案对自己有利.
点评:中档题,本题综合性较强,综合考查古典概型概率的计算,互斥(对立)事件的概率计算,数学期望的应用,及利用数学知识解决实际问题的能力。求出顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值,与商场的提价数额比较,即可求得结论。
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