Question

12．若关于x的不等式x²+|x+a|＜2至少有一个正数解，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-2，2）
• B． （-2，$\frac{9}{4}$）
• C． （-$\frac{9}{4}$，$\frac{9}{4}$）
• D． $（-\frac{9}{4}，2）$

Answer 1

分析 分a≥0，-2≤a＜0与a＜-2讨论，作函数y=|x+a|与y=2-x²的图象辅助，注意是存在性问题．

解答 解：当a≥0时，x²+x+a＜2，
即x²+x＜2-a，
故2-a＞0，
解得，0≤a＜2，
当-2≤a＜0时，
作函数y=|x+a|与y=2-x²的图象如下，
，
满足不等式x²+|x+a|＜2至少有一个正数解，
当a＜-2时，0＜x＜2时，x²-x-a＜2，
2+a＞x²-x=x（x-1），
且x²-x的最小值为-$\frac{1}{4}$，
故2+a＞-$\frac{1}{4}$，
故a＞-$\frac{9}{4}$，
综上所述，a∈$（-\frac{9}{4}，2）$．
故选D．

点评 本题考查了分类讨论的思想应用及数形结合的思想应用，同时考查了存在性问题．