题目内容
【题目】如图, 面
,
,
,
为
的中点.
(Ⅰ)求证: 平面
.
(Ⅱ)求二面角的余弦值.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得
,若存在,求出
的值,若不存在,说明理由.
【答案】()见解析(
)
(
)见解析.
【解析】试题分析:(1),
,所以
平面
;(2)建立空间直角坐标系,求得平面
和平面
的法向量,求得二面角的余弦值;(3)由点
在线段
上,则
,
,由
,得
,所以存在点
。
试题解析:
()证明:∵
平面
,
平面
,
∴.
∵,
,
∴平面
.
又平面
,
∴.
∵,
为
的中点,
∴.
又∵,
∴平面
.
()如图,在平面
内作
,则
,
,
两两垂直,建立空间直角坐标系
.则
,
,
,
,
.
,
,
.
设平面的法向量为
,则:
,即
,令
,则
.
∴.
由()可知
为平面
的一个法向量,
∴.
∵二面角为锐角,
∴二面角的余弦值为
.
()证明:设
是线段
上一点,且
,
,
即,
∴,
,
.
∴.
由,得
,
∴线段上存在点
,使得
,此时
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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