题目内容
【题目】对于数集,其中
,
,定义向量集
.若对于任意
,使得
,则称
具有性质
.例如
具有性质
.
()若
,且
具有性质
,求
的值.
()若
具有性质
,求证:
,且当
时,
.
()若
具有性质
,且
,
(
为常数),求有穷数列
,
,
,
的通项公式.
【答案】(1)1;(2)见解析;(3),
,
,
,
,
【解析】试题分析:(Ⅰ)由于具有该性质,所以必有任意向量都存在垂直向量,可以求出值。
(Ⅱ)取,设
满足
,可得
,
、
中之一为-1,另一为1,故1X,然后只要用反证法证明
之间不存在即可;
(Ⅲ)可以利用后一项比前一项的比值建立数集,最终求出后一项与前一项比是定值,从而是等比数列.
试题解析:
(1)选取,Y中与
垂直的元素必有形式
.
所以x=2b,从而x=4.
(2)证明:取.设
满足
.
由得
,所以
、
异号.
因为-1是X中唯一的负数,所以、
中之一为-1,另一为1,
故1X.
假设,其中
,则
.
选取,并设
满足
,即
,
则、
异号,从而
、
之中恰有一个为-1.
若=-1,则
,矛盾;
若=-1,则
,矛盾.
所以x1=1.
(3)设,
,则
等价于
。
记,则数集
具有性质
当且仅当数集
关于原点对称。
注意到是
中的唯一负数,
共有
个数,所以
也只有
个数。
由于,已有个数,对以下三角数阵,
,
。
注意到,所以
,从而数列的通项为
。
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目