题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,设点
是椭圆
:
上一点,从原点
向圆
:
作两条切线分别与椭圆
交于点
,
,直线
,
的斜率分别记为
,
.
(1)求证: 为定值;
(2)求四边形面积的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)1.
【解析】试题分析:(1)因为直线:
,
:
,与圆
相切,推出
,
是方程
的两个不相等的实数根,利用韦达定理得
,结合点点
在椭圆
上,得出
;(2)当直线
,
不落在坐标轴上时,设
,
,通过
,推出
,结合
,
在椭圆
上,可得
,再讨论直线落在坐标轴上时,显然有
,然后表示出
,结合基本不等式即可求出四边形
面积的最大值.
试题解析:(1)因为直线:
,
:
,与圆
相切,
由,可得
,
是方程
的两个不相等的实数根
∴,因为点
在椭圆
上,所以
,
∴.
(2)(i)当直线,
不落在坐标轴上时,设
,
,
因为,所以
,即
,
因为,
在椭圆
上,
所以,
整理得,所以
,
所以.
(ii)当直线落在坐标轴上时,显然有,
综上: .
因为,
因为,
所以的最大值为1.
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