Question

【题目】已知椭圆经过点，且与椭圆 有相同的焦点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线交于点，问：以线段为直径的圆是否经过一定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在点.

【解析】试题分析：（1）先求出椭圆的焦点为，则由题设有，从中解出可得椭圆的标准方程为．(2)因为动直线与椭圆相切，故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到和，又，设，则对任意的恒成立，但，因此，从而也就是点符合题意．

解析：（1）椭圆的焦点为，设椭圆的标准方程为，则解得所以椭圆的标准方程为．

（2）联立消去，得， 所以，即．

设，则， ，即．

假设存在定点满足题意，因为，则， ，所以，

恒成立，故解得 所以存在点符合题意．