题目内容
【题目】已知椭圆经过点
,且与椭圆
有相同的焦点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若动直线与椭圆
有且只有一个公共点
,且与直线
交于点
,问:以线段
为直径的圆是否经过一定点
?若存在,求出定点
的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)存在点
.
【解析】试题分析:(1)先求出椭圆的焦点为
,则由题设有
,从中解出
可得椭圆
的标准方程为
.(2)因为动直线
与椭圆相切,故联立直线方程和椭圆方程后利用判别式为零得到
和
,又
,设
,则
对任意的
恒成立,但
,因此
,从而
也就是点
符合题意.
解析:(1)椭圆的焦点为
,设椭圆
的标准方程为
,则
解得
所以椭圆
的标准方程为
.
(2)联立消去
,得
, 所以
,即
.
设,则
,
,即
.
假设存在定点满足题意,因为
,则
,
,所以
,
恒成立,故
解得
所以存在点
符合题意.
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