Question

【题目】选修4﹣5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|．
（1）证明：﹣3≤f（x）≤3；
（2）求不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|= ．

当2＜x＜5时，﹣3＜2x﹣7＜3．

所以﹣3≤f（x）≤3

（2）解：由（1）可知，

当x≤2时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为空集；

当2＜x＜5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣ ≤x＜5}；

当x≥5时，f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5≤x≤6}．

综上，不等式f（x）≥x2﹣8x+15的解集为{x|5﹣ ≤x≤6}

【解析】（1）通过对x的范围分类讨论将函数f（x）=|x﹣2|﹣|x﹣5|中的绝对值符号去掉，转化为分段函数，即可解决；（2）结合（1）对x分x≤2，2＜x＜5与x≥5三种情况讨论解决即可．
【考点精析】掌握绝对值不等式的解法是解答本题的根本，需要知道含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．