题目内容
【题目】已知数列,
,且
对任意n
恒成立.
(1)求证:(n
);
(2)求证:(n
).
【答案】(1)见解析(2)见解析
【解析】
(1)利用数学归纳法直接证明,假设当时,
成立,则当
时,
,将
代入即可证得:当
时,
成立,问题得证。
(2)利用数学归纳法证明,先证明时,
成立,假设当
时,
成立,证明:当
时,
成立,
因为,可将证明
问题转化成:证明
,转化成证明
,再转化成证明
(
)成立。构造函数
,利用导数即可判函数
在
上递增,结合
,即可证得:当
时,
成立,即可证得:当
,
成立,问题得证。
(1)①当时,
满足成立.
②假设当时,结论成立.即:
成立
下证:当时,
成立。
因为
即:当时,
成立
由①、②可知,(n
)成立。
(2)(ⅰ)当时,
成立,
当时,
成立,
(ⅱ)假设时(
),结论正确,即:
成立
下证:当时,
成立.
因为
要证,
只需证
只需证:,
只需证:
即证:(
)
记
当时,
所以在
上递增,
又
所以,当时,
恒成立。
即:当时,
成立。
即:当时,
恒成立.
所以当,
恒成立.
由(ⅰ)(ⅱ)可得:对任意的正整数,不等式
恒成立,命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】南方智运汽车公司在我市推出了共享汽车“Warmcar”,有一款车型为“众泰云”新能源共享汽车,其中一种租用方式“分时计费”规则为:0.15元/分钟+0.8元/公里.已知小李家离上班地点为10公里,每天租用该款汽车上、下班各一次,由于堵车、及红绿灯等原因每次路上开车花费的时间(分钟)是一个随机变量,现统计了100次路上开车花费时间,在各时间段内是频数分布情况如下表所示:
时间 | |||||||
频数 | 2 | 6 | 14 | 36 | 28 | 10 | 4 |
(1)写出小李上班一次租车费用(元)与用车时间
(分钟)的函数关系;
(2)根据上面表格估计小李平均每次租车费用;
(3)“众泰云”新能源汽车还有一种租用方式为“按月计费”,规则为每个月收取租金2350元,若小李每个月上班时间平均按21天计算,在不计电费和情况下,请你为小李选择一种省钱的租车方式.
【题目】近年来,某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念年年初至
年年初,该地区绿化面积
(单位:平方公里)的数据如下表:
年份 | |||||||
年份代号 | |||||||
绿化面积 |
(1)求关于
的线性回归方程;
(2)利用(1)中的回归方程,预测该地区年年初的绿化面积,并计算
年年初至
年年初,该地区绿化面积的年平均增长率约为多少.
(附:回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为,
)