题目内容

8.(1)有时一个式子可以分拆成两个式子,求和时可以达到相消化简的目的,如我们初中曾学
过:$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+$…+$\frac{1}{99×100}$=(1-$\frac{1}{2}$)+($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$)+…+($\frac{1}{99}$-$\frac{1}{100}$)=1-$\frac{1}{100}$=$\frac{99}{100}$
请用上面的数学思维来证明如下:$\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+\frac{1}{sin16x}$+$\frac{1}{sin32x}$=cotx-cot32x(注意:cotx=$\frac{cosx}{sinx}$)
(2)当0<x<$\frac{π}{2}$时,且$\frac{sin8x-sinx}{sinxsin8x}$=$\frac{sin4x+sin2x}{sin2xsin4x}$,求x的值.

分析 (1)由cotx-cot2x=$\frac{cosx}{sinx}$-$\frac{cos2x}{sin2x}$=$\frac{1}{sin2x}$,裂项即可得证.
(2)由(1)化简已知等式可得cot$\frac{x}{2}$-cotx=cotx-cot8x,由同角三角函数关系式可得tan$\frac{x}{2}$=-cot8x,从而可求8x=90°+$\frac{x}{2}$+180°•k,即可解得x的值.

解答 解:(1)证明:∵cotx-cot2x=$\frac{cosx}{sinx}$-$\frac{cos2x}{sin2x}$=$\frac{2co{s}^{2}x-(2co{s}^{2}x-1)}{sin2x}$=$\frac{1}{sin2x}$,
∴$\frac{1}{sin2x}+\frac{1}{sin4x}+\frac{1}{sin8x}+\frac{1}{sin16x}$+$\frac{1}{sin32x}$
=(cotx-cot2x)+(cot2x-cot4x)+(cot4x-cot8x)+(cot8x-cot16x)+(cot16x-cot32x)
=cotx-cot32x,即可得证.
(2)∵$\frac{sin8x-sinx}{sinxsin8x}$=$\frac{sin4x+sin2x}{sin2xsin4x}$,∴$\frac{1}{sinx}$=$\frac{1}{sin2x}$+$\frac{1}{sin4x}$+$\frac{1}{sin8x}$,
∴由(1)可得:cot$\frac{x}{2}$-cotx=cotx-cot8x,
cot$\frac{x}{2}$=2cotx-cot8x,
cot$\frac{x}{2}$-2cotx=-cot8x,
cot$\frac{x}{2}$-2×$\frac{1-co{t}^{2}\frac{x}{2}}{cot\frac{x}{2}}$=-cot8x,
∴tan$\frac{x}{2}$=-cot8x
∴8x=90°+$\frac{x}{2}$+180°•k
∴x=12°+24°•k
∴x=12°,36°,60°,84°.

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用,简单的类比推理,综合性较强,属于中档题.

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