题目内容
:如图,四边形ABCD是正方形,PB^平面ABCD,MA∥PB,PB=AB=2MA.
(Ⅰ)证明:AC∥平面PMD;
(Ⅱ)求直线BD与平面PCD所成的角的大小;
(Ⅲ)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的正切值.
(Ⅰ)证明:AC∥平面PMD;
(Ⅱ)求直线BD与平面PCD所成的角的大小;
(Ⅲ)求平面PMD与平面ABCD所成的二面角(锐角)的正切值.
:略
:(Ⅰ)证明:如图,取PD的中点E,连EO,EM.
∵EO∥PB,EO=PB,MA∥PB,MA=PB,∴EO∥MA,且EO=MA.
∴四边形MAOE是平行四边形.∴ME∥AC.
又∵AC(/平面PMD,MEÌ平面PMD, ∴AC∥平面PMD. …………3分
(Ⅱ)如图,PB^平面ABCD,CDÌ平面ABCD,∴CD^PB.
又∵CD^BC,∴CD^平面PBC. ∵CDÌ平面PCD,∴平面PBC^平面PCD.
过B作BF^PC于F,则BF^平面PDC,连DF,则DF为BD在平面PCD上的射影.
∴ÐBDF是直线BD与平面PDC所成的角.
不妨设AB=2,则在Rt△PBC中,PB=BC=2,BF^PC,∴BF=PC=.
∵BD=2.∴在Rt△BFD中,BF=BD,∴ÐBDF=.
∴直线BD与平面PCD所成的角是. ………………5分
(Ⅲ)解:如图,分别延长PM,BA,设PM∩BA=G,连DG,
则平面PMD∩平面ABCD=DG.
不妨设AB=2,∵MA∥PB,PB=2MA,∴GA=AB=2.
过A作AN^DG于N,连MN. ∵PB^平面ABCD,
∴MA^平面ABCD,∴MN^DG.∴ÐMNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角(锐角).在Rt△MAN中,
tanÐMNA==.
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是
∵EO∥PB,EO=PB,MA∥PB,MA=PB,∴EO∥MA,且EO=MA.
∴四边形MAOE是平行四边形.∴ME∥AC.
又∵AC(/平面PMD,MEÌ平面PMD, ∴AC∥平面PMD. …………3分
(Ⅱ)如图,PB^平面ABCD,CDÌ平面ABCD,∴CD^PB.
又∵CD^BC,∴CD^平面PBC. ∵CDÌ平面PCD,∴平面PBC^平面PCD.
过B作BF^PC于F,则BF^平面PDC,连DF,则DF为BD在平面PCD上的射影.
∴ÐBDF是直线BD与平面PDC所成的角.
不妨设AB=2,则在Rt△PBC中,PB=BC=2,BF^PC,∴BF=PC=.
∵BD=2.∴在Rt△BFD中,BF=BD,∴ÐBDF=.
∴直线BD与平面PCD所成的角是. ………………5分
(Ⅲ)解:如图,分别延长PM,BA,设PM∩BA=G,连DG,
则平面PMD∩平面ABCD=DG.
不妨设AB=2,∵MA∥PB,PB=2MA,∴GA=AB=2.
过A作AN^DG于N,连MN. ∵PB^平面ABCD,
∴MA^平面ABCD,∴MN^DG.∴ÐMNA是平面PMD与平面ABCD
所成的二面角的平面角(锐角).在Rt△MAN中,
tanÐMNA==.
∴平面PMD与平面ABCD所成的二面角的正切值是
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