Question

14．设集合A={1，2}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}．
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）是否存在实数a，使A∩B=A？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据A∩B={2}，得到2∈B，将2代入方程x²+2（a+1）x+（a²-5）=0求出a的值，然后将a的值分别进行验证是否符合题意即可；
（2）假设存在实数a，使A∩B=A，则A=B，然后利用根与系数的关系列关于a的方程组，由方程组无解说明假设错误．

解答 解：（1）若A∩B={2}，则2∈B，
将2代入x²+2（a+1）x+（a²-5）=0解得a=-1或-3，
当a=-1时，集合B={-2，2}，满足条件．
当a=-3时，集合B={2}，满足条件．
∴实数a的值为-1或-3；
（2）若A∩B=A，则A⊆B，
∵x²+2（a+1）x+（a²-5）=0为一元二次方程，
∴A=B，
即方程x²+2（a+1）x+（a²-5）=0的两根为1，2，
由根与系数的关系可得$\left\{\begin{array}{l}{1+2=-2（a+1）}\\{1×2={a}^{2}-5}\end{array}\right.$，此方程组无解．
∴不存在实数a，使A∩B=A．

点评 本题考查交集及其运算，考查了集合的包含关系及其应用，是基础题．