题目内容

【题目】设函数.

(1)研究函数的极值点;

(2)当时,若对任意的,恒有,求的取值范围;

(3)证明:.

【答案】(1)详见解析;(2)实数的取值范围是;(3)详见解析.

【解析】

试题分析:(1)先求出函数的导数,对的符号进行分类讨论,即对函数是否存在极值点进行分类讨论,结合函数的单调性或导数符号确定函数的极大值或极小值;(2)利用(1)中的结论,将问题转化为,结合(1)中的结论列不等式解参数的取值范围;(3)在(2)中,令,得到不等式上恒成立,然后令得到,两边同除以得到

,结合放缩法得到,最后;利用累加法即可得到所证明的不等式.

试题解析:(1)

上无极值点

当p>0时,令的变化情况如下表:

x

(0,)

+

0

极大值

从上表可以看出:当p>0 时,有唯一的极大值点

(2)当时在处取得极大值

此极大值也是最大值,要使恒成立,只需

,即p的取值范围为[1,+

(3)令,由(2)知,

,结论成立

另解:设函数,则,令,解得,则

==

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