Question

4．化简或求值
（1）化简：$\frac{{sin（\frac{π}{2}+α）•cos（\frac{π}{2}-α）}}{cos（π+α）}+\frac{{sin（π-α）•cos（\frac{π}{2}+α）}}{sin（π+α）}$；
（2）已知$-\frac{π}{2}＜x＜0，sinx+cosx=\frac{1}{5}$，求sinx-cosx的值．

Answer 1

分析 （1）由条件利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．
（2）由条件利用同角三角函数的基本关系求得2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，再根据 sinx-cosx=-$\sqrt{{（xosx-sinx）}^{2}}$，计算求的结果．

解答 解：（1）$\frac{{sin（\frac{π}{2}+α）•cos（\frac{π}{2}-α）}}{cos（π+α）}+\frac{{sin（π-α）•cos（\frac{π}{2}+α）}}{sin（π+α）}$=$\frac{cosα•sinα}{-cosα}$+$\frac{sinα•（-sinα）}{-sinα}$=-sinα+sinα=0．
（2）∵$-\frac{π}{2}＜x＜0，sinx+cosx=\frac{1}{5}$，∴1+2sinxcosx=$\frac{1}{25}$，2sinxcosx=-$\frac{24}{25}$，
求∴sinx-cosx=-$\sqrt{{（xosx-sinx）}^{2}}$=-$\sqrt{1-2sinxcosx}$=-$\sqrt{1+\frac{24}{25}}$=-$\frac{7}{5}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．