Question

19．已知函数f（x）=4x-$\frac{a}{9x}$（a∈R）的定义域为（0，+∞），则“a=-1”是“函数f（x）有最小值$\frac{4}{3}$”的（　　）

• A． 充分不必要条件
• B． 必要不充分条件
• C． 充要条件
• D． 既不充分也不必要条件

Answer 1

分析 利用导数研究函数f（x）的单调性极值与最值即可得出．

解答 解：f′（x）=4+$\frac{a}{9{x}^{2}}$=$\frac{36{x}^{2}+a}{9{x}^{2}}$，x∈（0，+∞），
当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，无最小值．
当a＜0时，f′（x）=$\frac{36（{x}^{2}+\frac{a}{36}）}{9{x}^{2}}$=$\frac{4（x+\frac{\sqrt{-a}}{6}）（x-\frac{\sqrt{-a}}{6}）}{{x}^{2}}$，
∵x∈（0，+∞），
∴当x=$\frac{\sqrt{-a}}{6}$时，函数f（x）取得最小值，
$f（\frac{\sqrt{-a}}{6}）$=$4×\frac{\sqrt{-a}}{6}$-$\frac{a}{9×\frac{\sqrt{-a}}{6}}$=$\frac{4\sqrt{-a}}{3}$，
∴f（x）_min=$\frac{4}{3}$?$\frac{4\sqrt{-a}}{3}$=$\frac{4}{3}$?a=-1．
∴“a=-1”是“函数f（x）有最小值$\frac{4}{3}$”的充要条件．
故选：C．

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、简易逻辑的判定方法，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．