Question

已知函数：f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c，过曲线y＝f(x)上的点P(1，f(1))的切线方程为y＝3x＋1
(1)y＝f(x)在x＝－2时有极值，求f(x)的表达式；
(2)函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，求b的取值范围．

Answer 1

(1) f(x)＝x³＋2x²－4x＋5; (2) b≥0

试题分析：(1)先由函数导数的几何意义用含a,b,c的代数式表达出函数在点P处的切线方程，再与已知的切线相比较可得关于a,b,c的两个方程；另又因为y＝f(x)在x＝－2时有极值，所以f′(－2)＝0再得到一个关于a,b,c的方程，三个字母三个方程，通过解方程组就可求得字母a,b,c的值，从而求得f(x)的表达式； (2) 由函数y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增，知其导函数f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，注意到(1)中的①式:2a+b=0,所以有，从而有3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立，分离参数转化为函数的最值问题，可求得b的取值范围.
试题解析：(1)由f(x)＝x³＋ax²＋bx＋c,求导数得f′(x)＝3x²＋2ax＋b，
过y＝f(x)上点P(1，f(1))的切线方程为：y－f(1)＝f′(1)(x－1)，
即y－(a＋b＋c＋1)＝(3＋2a＋b)(x－1)
而过y＝f(x)上P(1，f(1))的切线方程为：y＝3x＋1
即
又∵y＝f(x)在x＝－2时有极值，故f′(－2)＝0 ∴－4a＋b＝－12③
由①②③相联立解得a＝2，b＝－4，c＝5,所以f(x)＝x³＋2x²－4x＋5
(2)y＝f(x)在区间[－2,1]上单调递增
又f′(x)＝3x²＋2ax＋b，由(1)知2a＋b＝0
∴f′(x)＝3x²－bx＋b
依题意f′(x)在[－2,1]上恒有f′(x)≥0，即3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立
注意到，所以3x²－bx＋b≥0在[－2,1]上恒成立等价于：，令知当时，当时，所以在[-2，1）上有最大值为，故知，且当x=1时f′(x)≥0也成立,所以