Question

2．若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，则$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为（　　）

• A． 10
• B． 4+2$\sqrt{6}$
• C． 4+2$\sqrt{3}$
• D． 4$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 由已知中圆的方程x²+y²+2x-4y+1=0我们可以求出圆心坐标，及圆的半径，结合直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，我们易得到a，b的关系式，再根据基本不等式中1的活用，即可得到答案．

解答 解：圆x²+y²+2x-4y+1=0是以（-1，2）为圆心，以2为半径的圆，
又∵直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x²+y²+2x-4y+1=0所截得的弦长为4，
∴直线过圆心，
∴a+2b=2，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$）（a+2b）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{4b}{a}$+$\frac{3a}{b}$）≥$\frac{1}{2}$（8+4$\sqrt{3}$）=4+2$\sqrt{3}$，
∴$\frac{2}{a}+\frac{3}{b}$的最小值为4+2$\sqrt{3}$，
故选：C．

点评 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质，基本不等式，其中根据已知条件，分析出圆心在已知直线上，进而得到a，b的关系式，是解答本题的关键．