题目内容
【题目】设函数是定义域R上的奇函数.
(1)设是
图像上的两点,求证:直线AB的斜率>0;
(2)求函数在区间
上的最大值.
【答案】(1)证明见解析;(2)当时,
;当
时,
【解析】
(1)由函数是奇函数可利用进行
值求解;可利用增函数的定义求证函数
是增函数,即直线AB的斜率>0
(2)先利用(1)的结论,设,由
在
递增,可得
,
可化简为
,设
,对称轴
,讨论对称轴与定义域的关系可进一步求得
最值
(1)由,因为函数
是定义域R上的奇函数,所以
,即
,原表达式为
设是
图像上的两点,且
,
则,因为
在
上单调递增,所以
,又因为
在
上单调递减,所以
,所以
,所以
在
上为增函数,即直线AB的斜率>0
(2)设,由
,可得
,由
在
递增,可得
,由
,即有函数
,对称轴
当对称轴,即
时,可得
时,即
,最大值为2;
当对称轴,即
时,可得
时,即
时,取得最大值
;
综上所述,当时,
;当
时,
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