Question

【题目】已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．
（1）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞﹣1，且当x∈（﹣ ， ）时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=﹣2时，f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣2|，

不等式f（x）＜g（x），

即|2x﹣1|+2|x﹣1|﹣x﹣3＜0，

x≥1时，2x﹣1+2x﹣2﹣x﹣3＜0，解得：1≤x＜2，

＜x＜1时，2x﹣1﹣2x+2﹣x﹣3＜0，解得：x＞﹣2，成立，

x≤ 时，1﹣2x+2﹣2x﹣x﹣3＜0，解得：x＞0，

综上，不等式的解集是：（0，2）

（2）解：当x∈（﹣ ， ）时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，

∴x≥a﹣2对x∈（﹣ ， ）都成立，故﹣ ≥a﹣2，即a≤ ，又由已知a＞﹣1，

∴a的取值范围为（﹣1， ]

【解析】（1）对x分类讨论，去掉绝对值符号解出即可得出．（2）当x∈（﹣ ， ）时，f（x）=1+a，不等式f（x）≤g（x）化为1+a≤x+3，化简利用a的取值范围、函数的单调性即可得出．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．