题目内容
【题目】如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,AB=2,PA= ,E是棱PC的中点,过AE作平面分别与棱PB、PD交于M、N两点.
(1)若PM= PB,PN=λPD,求λ的值;
(2)求直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围.
【答案】
(1)解:连接AC、BD交于点O,以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,﹣ ,0),B (
,0,0),C(0,
,0),D(﹣
,0,0),P(0,0,2),E(0,
,1)
,
,
,
,
.
,
∵AN,AE,AM共面,∴
(2)解:根据正四棱锥P﹣ABCD的对称性可知,当PM=PN时,P到面AMEN的距离最大,此时直线PA与平面AMEN所角最大,
,P到面AMEN的距离最小,此时直线PA与平面AMEN所角最小.
①由(Ⅰ)知当PM=PN时,λ= ,
,
设面AMEN的法向量为 ,
由 ,
取
设直线PA与平面AMEN所成角为θ,sinθ=|cos< >|=
,
②当M在B时,因为AB∥面PDC,所以过AB,AE的面与面PDC的交线NE∥AB
设 是面ABEN的法向量,
由 ,可取
sinθ=|cos< >|=
.
直线PA与平面AMEN所成角的正弦值的取值范围为[ ,
]
【解析】(1)连接AC、BD交于点O,以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,﹣ ,0),B (
,0,0),C(0,
,0),D(﹣
,0,0),P(0,0,2),E(0,
,1)由AN,AE,AM共面,
.(2)根据正四棱锥P﹣ABCD的对称性可知,当PM=PN时,P到面AMEN的距离最大,此时直线PA与平面AMEN所角最大,P到面AMEN的距离最小,此时直线PA与平面AMEN所角最小.利用向量分别求出求解直线PA与平面AMEN所成角的正弦值.
【考点精析】本题主要考查了空间角的异面直线所成的角的相关知识点,需要掌握已知为两异面直线,A,C与B,D分别是
上的任意两点,
所成的角为
,则
才能正确解答此题.
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