题目内容
8.已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{3}$+y2=1,斜率为2的动直线与椭圆交于不同的两点A、B,求线段AB中点的轨迹方程.分析 设A(x1,y1),B(x2,y2),记线段AB的中点为(x,y).代入椭圆方程,由作差,结合中点坐标公式和直线的斜率公式,化简可得轨迹方程,注意中点在椭圆内,求得x的范围即可.
解答 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),记线段AB的中点为(x,y).
则$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{3}$+y12=1,$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{3}$+y22=1,
两式作差得,$\frac{({x}_{1}-{x}_{2})({x}_{1}+{x}_{2})}{3}$+(y1-y2)(y1+y2)=0,
因直线AB斜率为2,代入y1-y2=2(x1-x2)得,
$\frac{1}{3}$(x1+x2)+2(y1+y2)=0,
又x1+x2=2x,y1+y2=2y,即有x+6y=0,
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+6y=0}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$解得x=±$\frac{6\sqrt{13}}{13}$,又线段AB的中点在椭圆内部,
故所求的轨迹方程为:x+6y=0(-$\frac{6\sqrt{13}}{13}$<x<$\frac{6\sqrt{13}}{13}$).
点评 本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的方程的运用,注意运用点差法和中点坐标公式以及直线的斜率公式,考查运算能力,属于中档题和易错题.
练习册系列答案
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A. | a>b | B. | a<b | ||
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A. | a<b<c<d | B. | b<a<c<d | C. | c<d<a<b | D. | c<d<b<a |
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c=( )
c=( )
A. | 2$\sqrt{7}$ | B. | 4 | C. | 2$\sqrt{3}$ | D. | 3$\sqrt{3}$ |