题目内容
【题目】已知函数f(x)=xetx﹣ex+1,其中t∈R,e是自然对数的底数.
(1)若方程f(x)=1无实数根,求实数t的取值范围;
(2)若函数f(x)在(0,+∞)内为减函数,求实数t的取值范围.
【答案】
(1)解:由f(x)=1,可得x=ex(1﹣t)>0,
∴原方程无负实数根,
故有 =1﹣t.
令g(x)= ,则g′(x)= ,
∴0<x<e,g′(x)>0;x>e,f′(x)<0,
∴函数g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,
∴函数g(x)的最大值为g(e)= ,
∴函数g(x)的值域为(﹣∞, ];
方程f(x)=1无实数根,等价于1﹣t(﹣∞, ],
∴1﹣t> ,
∴t<1﹣ ,
∴当t<1﹣ 时,方程f(x)=1无实数根;
(2)解:f′(x)=etx[1+tx﹣e(1﹣t)x]
由题设,x>0,f′(x)≤0,
不妨取x=1,则f′(1)=et(1+t﹣e1﹣t)≤0,
t≥1时,e1﹣t≤1,1+t≤2,不成立,∴t<1.
①t≤ ,x>0时,f′(x)=etx[1+tx﹣e(1﹣t)x]≤ (1+ ﹣ ),
由(1)知,x﹣ex+1<0,∴1+ ﹣ <0,∴f′(x)<0,
∴函数f(x)是(0,+∞)内的减函数;
② <t<1, >1,∴ ln >0,
令h(x)=1+tx﹣e(1﹣t)x,则h(0)=0,h′(x)=(1﹣t)[ ﹣e(1﹣t)x]
0<x< ln ,h′(x)>0,
∴h(x)在(0, ln )上单调递增,
∴h(x)>h(0)=0,此时,f′(x)>0,
∴f(x)在(0, ln )上单调递增,有f(x)>f(0)=0与题设矛盾,
综上,当t≤ 时,函数f(x)是(0,+∞)内的减函数
【解析】(1)先确定原方程无负实数根,令g(x)= ,求出函数的值域,方程f(x)=1无实数根,等价于1﹣t(﹣∞, ],从而求出t的范围;(2)利用函数f(x)是(0,+∞)内的减函数,确定t<1,再分类讨论,即可求实数t的取值范围.
【考点精析】利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数对题目进行判断即可得到答案,需要熟知一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间内,(1)如果,那么函数在这个区间单调递增;(2)如果,那么函数在这个区间单调递减;求函数在上的最大值与最小值的步骤:(1)求函数在内的极值;(2)将函数的各极值与端点处的函数值,比较,其中最大的是一个最大值,最小的是最小值.