Question

15．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sin$\frac{x}{3}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$A，$\frac{1}{2}$Acos$\frac{x}{3}$）（A＞0），函数f（x）=$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$的最大值为2．
（1）求f（x）最小正周期和解析式；
（2）设α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（3α+$\frac{π}{2}$），f（3β+2π）=$\frac{6}{5}$，求sin（α-β）的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量的数量积得到解析式，然后利用三角函数公式化简，由题意得到周期和A；
（2）由（1）得到α，β的三角函数值，然后由两角和与差的三角函数公式求值．

解答 解：（1）$f（x）=\frac{{\sqrt{3}}}{2}Asin\frac{x}{3}-\frac{1}{2}Acos\frac{x}{3}=A（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin\frac{x}{3}-\frac{1}{2}cos\frac{x}{3}}）=Asin（{（\frac{x}{3}-\frac{π}{6}}）$…（3分）
f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{{\frac{1}{3}}}=6π$…（4分）
因为 A＞0，由题意知A=2，…（5分）
所以f（x）=2sin（$\frac{1}{3}$x-$\frac{π}{6}$）…（6分）
（2）f（3α+$\frac{π}{2}$）=2sin（$\frac{1}{3}$（3α+$\frac{π}{2}$）-$\frac{π}{6}$）=2sinα=$\frac{10}{13}$，
f（3β+2π）=2sin（$\frac{1}{3}$（3β+2π）-$\frac{π}{6}$）=2sin（$β+\frac{π}{2}$）=2cosβ=$\frac{6}{5}$，…（8分）
∴sin$α=\frac{5}{13}$，cos$β=\frac{3}{5}$，α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{12}{13}$
sinβ=$\sqrt{1-co{s}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$            …（10分）
∴sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ=$\frac{5}{13}×\frac{3}{5}-\frac{12}{13}×\frac{4}{5}$=-$\frac{33}{65}$  …（12分）

点评 本题考查了平面向量的数量积、三角函数式的化简以及三角函数公式；熟练掌握两角和与差的三角函数公式是关键．