Question

【题目】对于函数f（x），若f（x）=x ， 则称x为f（x）的“不动点”，若f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）．
（1）若a=2，b=﹣2，求f（x）的不动点；
（2）若f（x）有两个不等的不等点，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0）

当a=2，b=﹣2时，f（x）=2x2﹣x﹣4

设x为其不动点，即2x2﹣x﹣4=x

则2x2﹣2x﹣4=0

∴x1=﹣1，x2=2，即f（x）的不动点是﹣1，2．

（2）解：由f（x）=x得：ax2+bx+b﹣2（a≠0）

由已知，此方程有相异二实根，

△＞0恒成立，即

即b2﹣4ab+8a＞0恒成立．

∴16a2﹣32a＜0

解得：0＜a＜2

【解析】（1）由函数f（x）不动点的定义，若f（x）=x ， 则称x为f（x）的“不动点”，结合f（x）=ax2+（b+1）x+b﹣2（a≠0），a=2，b=﹣2，我们可以构造一个关于x的一元二次方程，解方程，即可求出f（x）的不动点．（2）若f（x）有两个不等的不等点，则方程f（x）=x有两个不等的实数根，由一元二次方程根的个数与△的关系，我们不难得到实数a的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解集合的相等关系的相关知识，掌握只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合相等．