题目内容
已知数列{an}中a1＝2，an+1＝(－1)( an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{an}中b1＝2，bn+1＝，n＝1，2，3，….证明：＜bn≤a4n-3，n＝1，2，3，…
(Ⅰ) an＝[(－1)n＋1] (Ⅱ)见解析
（Ⅰ）由题设：an+1＝(－1)(an＋2)＝(－1)(an－)＋(－1)(2＋)，
＝(－1)(an－)＋，∴an+1－＝(－1)(an－)．
所以，数列{an－}a是首项为2－，公比为－1)的等比数列，an－＝(－1)n，
即an的通项公式为an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，….
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n＝1时，因＜2，b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n＝k时，结论成立，即＜bk≤a4k-3，，也即0＜bn－≤a4k-3－，
当n＝k＋1时，bk+1－＝－＝＝＞0，
又＜＝3－2，所以bk+1－＝＜(3－2)2(bk－)≤(－1)4(a4k-3－)＝a4k+1－也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知＜bn≤a4n-3，n＝1，2，3，….
＝(－1)(an－)＋，∴an+1－＝(－1)(an－)．
所以，数列{an－}a是首项为2－，公比为－1)的等比数列，an－＝(－1)n，
即an的通项公式为an＝[(－1)n＋1]，n＝1，2，3，….
（Ⅱ）用数学归纳法证明．
（ⅰ）当n＝1时，因＜2，b1＝a1＝2，所以＜b1≤a1，结论成立．
（ⅱ）假设当n＝k时，结论成立，即＜bk≤a4k-3，，也即0＜bn－≤a4k-3－，
当n＝k＋1时，bk+1－＝－＝＝＞0，
又＜＝3－2，所以bk+1－＝＜(3－2)2(bk－)≤(－1)4(a4k-3－)＝a4k+1－也就是说，当n＝k＋1时，结论成立．
根据（ⅰ）和（ⅱ）知＜bn≤a4n-3，n＝1，2，3，….
练习册系列答案
相关题目
），其中
为正实数. 
表示xn+1；
，证明数列｛
｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
满足
.
时，证明不等式：
.
中，
是其前
项和，
的值为 
和正项等比数列
，a7是b3和b7的等比中项.
的通项公式；
，求数列{
}的前n项和Tn.
表示某企业第n年投入的治理污染的环保费用，用
表示该企业第n年的产值. 设
（万元）且以后治理污染的环保费用每年比上一年增加2
（万元）；又设
(万元)，且企业的产值每年比上一年的平均增长率为10％. 用
表示企业第n年 “对社会的有效贡献率”
17
是由正数组成的数列，其前n项和为
，且满足关系：
（2）求
的公差为2，前
项和为
，则下列结论中正确的是 （ ）
}的前11项和为 （）