题目内容
【题目】“地摊经济”是李克强总理在本届政府工作报告中向全国人民发出的口号，某生产企业积极响应号召，大力研发新产品，为了对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据
（
，2，3，4，5，6），如表所示：
试销单价x（元） | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
产品销量y（件） | q | 84 | 83 | 80 | 75 | 68 |
已知
，
，
（1）试求q，若变量x，y具有线性相关关系，求产品销量y（件）关于试销单价x（元）的线性回归方程
；
（2）用
表示用（1）中所求的线性回归方程得到的与
对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值
时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从6个销售数据中任取3个，求“好数据”个数
的分布列和数学期望
.
（参考公式：线性回归方程中
，
的最小二乘估计分别为
，
）
【答案】（1）
，
；（2）分布列见解析，
.
【解析】
（1）由
，可求q，利用
结合表中数据求出
，再利用回归直线过样本中心点求出
，从而求出回归直线方程.
（2）根据（1）中的线性回归方程求出满足题意的“好数据”个数，从而可得
的所有可能取值为0，1，2，3，利用超几何分布求出分布列，由分布列即可求出期望.
（1），即
，求得.
，
，
所以所求的线性回归方程为.
（2）利用（1）中所求的线性回归方程可得：
当
时，
；当
时，
；当
时，
；
当
时，
；当
时，
；当
时，
.
与销售数据对比可知满足
（
，2，…，6）的共有3个“好数据”：
、
、
.
于是的所有可能取值为0，1，2，3.
；
；
；
，
∴的分布列为：
| 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
|
|
|
|
于是
.
【题目】某高中数学建模兴趣小组的同学为了研究所在地区男高中生的身高与体重的关系，从若干个高中男学生中抽取了1000个样本，得到如下数据.
数据一：身高在
（单位：
）的体重频数统计
体重 （ |
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人数 | 20 | 60 | 100 | 100 | 80 | 20 | 10 | 10 |
数据二：身高所在的区间含样本的个数及部分数据
身高 |
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平均体重
| 45 | 53.6 | 60 | 75 |
（1）依据数据一将上面男高中生身高在
（单位：）体重的频率分布直方图补充完整，并利用频率分布直方图估计身高在（单位：）的中学生的平均体重；（保留小数点后一位）
（2）依据数据一、二，计算身高（取值为区间中点）和体重的相关系数约为0.99，能否用线性回归直线来刻画中学生身高与体重的相关关系，请说明理由；若能，求出该回归直线方程；
（3）说明残差平方和或相关指数
与线性回归模型拟合效果之间关系.（只需写出结论，不需要计算）
参考公式：
，
.
参考数据：（1）
；（2）
；（3）
，
，
；（4）
.
【题目】为改善环境，节约资源，我国自2019年起在全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类，垃圾分类已成为一种潮流.某市一小区的主管部门为了解居民对垃圾分类的认知是否与其受教育程度有关，对该小区居民进行了随机抽样调查，得到如下统计数据的列联表：
知道如何对垃圾进行分类 | 不知道如何对垃圾进行分类 | 合计 | |
未受过高等教育 |
| 10 |
|
受过高等教育 |
|
|
|
合计 |
|
| 50 |
（1）求列联表中的
，
，
，
，
的值，并估计该小区受过高等教育的居民知道如何对垃圾进行分类的概率；
（2）根据列联表判断能否有
的把握认为该小区居民对垃圾分类的认知与其受教育程度有关？
参考数据及公式：
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，其中
.
