Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面平面，底面是等腰梯形，，，点E在线段上，且.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）连接，交于点F，连接，证得，由此可证明平面；

（2）取中点O，取中点H，连接，，则，以O为原点，以方向为x轴，方向为y轴，以方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值.

解：（1）连接，交于点F，连接.

在等腰梯形中，，，则，，

又，则，所以，

所以，

又，，所以.

（2）取中点O，取中点H，连接，，显然.

又平面，平面，所以.

由于O、H分别为、中点，四边形是等腰梯形.

则，故以O为原点，以方向为x轴，方向为y轴，

以方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系.

则、、、，

可得、、、

，

设平面的一个法向量为，由、可得

令，可得，，则.

设平面的一个法向量为，由、可得

令，可得，，则.

从而，

则二面角的余弦值为.